Dérivée seconde et dérivées d'ordre supérieur d'une fonction

Définition

Soit  \(f\) une fonction définie et dérivable sur un intervalle \(I\) .
Si  \(f'\) est dérivable sur \(I\) , on dit que  \(f\) est deux fois dérivable sur  \(I\) .
Dans ce cas, la dérivée de \(f'\) est notée \(f''\)  ou \(f^{(2)}\) .

Exemple

On considère la fonction \(f\)  définie sur \(\mathbb{R}\)  par \(f(x)=5x^3+4x^2-7x+1\) .
\(f\)  est dérivable sur \(\mathbb{R}\)  et \(\forall x \in \mathbb{R},\ f'(x)=15x^2+8x-7\) .
\(f'\)  est dérivable sur \(\mathbb{R}\) . On peut donc définir \(f''\)  sur \(\mathbb{R}\) .
Pour tout réel  \(x\) , on a \(f''(x)=30x+8\) .

Remarque

On définit de la même façon les dérivées d'ordre supérieur : \(f^{(3)},\ f^{(4)},\ f^{(5)}\) , etc.